Премии тестировщикам

количественная развёрнутая задача многопунктовая Школково – банк задач по экономике

Виктор, владелец игрового сайта, нанял тестировщиков Анну и Бориса. Их трудовые договоры предусматривают фиксированную зарплату. Перед ними стоит задача проверить корректность работы программного обеспечения сайта: Анна должна протестировать клиентскую часть, а Борис — серверную. Как клиентская, так и серверная часть с равными шансами может работать корректно или с ошибками, причём независимо от другой части, т.е. все четыре возможных варианта корректной/ошибочной работы двух частей сайта равновероятны.

Проблема состоит в том, что у Виктора нет возможности наблюдать, насколько добросовестно Анна и Борис выполняют свои задачи. Тот из них, кто работает добросовестно, несёт от своих усилий издержки, эквивалентные 15 тыс. руб., и если ошибки есть, он их найдет и исправит. Но вместо этого тестировщик может отлынивать — ничего не проверять, а просто сообщить, что ошибок не обнаружено. Если ошибки останутся в рабочей версии сайта, то сайт будет работать некорректно, и Виктор потеряет на этом 80 тыс. руб.

Понимая это, Виктор обещает Анне премию $b_{A}$, а Борису — премию $b_{B}$ с условием, что премия выплачивается тестировщику, только если тот находит ошибку (предполагается, что Виктор может это наблюдать). Но здесь имеется другая проблема: премии не прописаны в трудовом договоре, это неформальное соглашение между сторонами. Виктор может его нарушить и не выплатить премию, — это не будет грозить ему судебным разбирательством. В этом случае, кого бы из тестировщиков ни обманули, одного или обоих, и Анна, и Борис увольняются по собственному желанию. Виктор в случае их ухода потеряет ценность дальнейшего сотрудничества с ними, составляющую 50 тыс. руб. Даже если работник увольняется, он успевает получить свою фиксированную зарплату, прописанную в договоре — не выплачивать ее Виктор не может.

Последовательность действий такова:

Виктор предлагает Анне и Борису премии (будем считать, что каждая премия известна обоим);
Анна и Борис одновременно и независимо принимают решение, работать или отлынивать. В этот момент они не знают, есть ли ошибки в сайте;
Неотлынивающие работники выявляют и исправляют ошибки, если они есть;
Виктор платит премии по результатам работы Анны и Бориса или отказывается платить.

Также предполагается, что:

Анна, Борис и Виктор максимизируют математическое ожидание своих доходов с учётом издержек;
несмотря на вышеуказанные издержки, проект Виктора достаточно прибыльный, чтобы приносить ему положительную прибыль в любом случае;
если тестировщику безразлично, работать добросовестно или отлынивать, тестировщик работает добросовестно. Также тестировщики не уходят от Виктора, если он их не обманул.

Примечание: Если некая величина $x$ принимает $n$ значений $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, то ее математическое ожидание по определению равно $x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}$.

а)
Если Анна ожидает, что премия $b_{A}$ будет выплачена, какой должна быть эта премия, чтобы стимулировать Анну добросовестно искать ошибки?
б)
Может ли Виктор пообещать тестировщикам премии, стимулирующие их искать ошибки, а самого Виктора — никогда не обманывать работников с выплатой премий?
в)
Допустим, Виктор предлагает премию только Анне, $b_{B} = 0$. Может ли Виктор пообещать Анне премию, стимулирующую ее искать ошибки, а самого Виктора — не обманывать Анну с выплатой премии? Если да, то какое значение $b_{A}$ оптимально для Виктора при этих условиях? Выиграет ли Виктор по сравнению с ситуацией, когда он вообще не предлагает премии?
г)
Теперь рассмотрим случай, когда премия тестировщика может зависеть не только от его результатов, но и от результатов другого тестировщика. А именно, предположим, что если только один тестировщик находит ошибку, то он получает премию в размере $b_{1}$, а если оба, то каждый получает премию в размере $b_{2}$. Определите все пары премий $(b_{1}, b_{2})$, которые стимулируют Анну и Бориса добросовестно искать ошибки, а Виктора — никогда не обманывать работников с выплатой премий. Какие из этих пар премий $(b_{1}, b_{2})$ оптимальны для Виктора? Выиграет ли Виктор по сравнению с пунктом в)?

Примечание: Точнее, каждому должно быть выгодно работать добросовестно, если другой тестировщик тоже работает добросовестно.
д)
Существует ли среди оптимальных пар $(b_{1}, b_{2})$ в пункте г) такая, при которой Виктор по сути формирует фиксированный премиальный фонд, который поровну распределяется между нашедшими ошибки?